「√12分の5n」が奇数になるnの値を求める中学生向け数学問題：つまずきポイントと徹底攻略

この記事では、中学数学でつまずきやすい「√（ルート）を含む数の計算」の問題、特に「√12分の5nが奇数になるnの値を求める」問題について、具体的なステップと注意点、そして応用力を高めるためのヒントを解説します。数学が苦手な人でも理解できるよう、丁寧に説明しますので、一緒に問題を解いていきましょう。

超大至急お願いします！中３数学です！５００枚です！√１２分の５n(１２分の５n全体にルートがかかってます)が奇数になるときのnの値をもとめよっていうのが分かりません。

答えは５４０ってかいてあります。

すいません２ばんめに小さい数ってかいてありました。

問題の本質：平方根と整数の関係

この問題の核心は、平方根の性質と整数の関係を理解することです。具体的には、以下の2点を押さえることが重要です。

平方根の定義: ある数xの平方根とは、2乗するとxになる数のことです。例えば、9の平方根は3と-3です。
奇数になる条件: 奇数は、2で割り切れない整数です。つまり、1, 3, 5, 7, …といった数です。

今回の問題では、「√12分の5n」が奇数になるnの値を求めるため、まず「12分の5n」がどのような数になるかを考える必要があります。平方根が奇数になるためには、平方根の中身が「奇数の2乗」になる必要があります。

ステップ1：問題の整理と目標設定

まず、問題文を整理しましょう。求めたいのは、√（12分の5n）が奇数となるようなnの値です。そして、nは2番目に小さい数であるという条件があります。

目標は、12分の5nを計算し、その結果が「奇数の2乗」になるようなnの値を特定することです。この目標を達成するために、具体的なステップを踏んでいきましょう。

ステップ2：12分の5nの分解と考察

√（12分の5n）が奇数になるためには、12分の5nが奇数の2乗でなければなりません。そこで、12分の5nを分解し、どのような条件が必要かを考えます。

12分の5n = (5n) / 12

この分数全体が奇数の2乗になるためには、以下の2つの条件を満たす必要があります。

分数全体が整数であること: 分数が整数になるためには、分子が分母で割り切れる必要があります。
整数が奇数の2乗であること: その整数が奇数の2乗でなければ、平方根が奇数になりません。

ステップ3：nの値を求めるための計算

上記の条件を満たすnの値を求めていきましょう。まず、12分の5nが整数になるためには、nが12の約数または12の倍数を含む必要があります。12 = 2² × 3であるため、nは3を少なくとも1つ含む必要があります。なぜなら、分母の12を約分して整数にするためには、分子に3が必要となるからです。

したがって、nは3 × k²の形で表すことができます。ここで、kは整数です。このnの値を12分の5nに代入してみましょう。

12分の5n = (5 × 3 × k²) / 12 = (5 × k²) / 4

この結果が奇数の2乗になるためには、k²が4の倍数である必要があります。つまり、kは2の倍数でなければなりません。k = 2mとすると、

(5 × k²) / 4 = (5 × (2m)²) / 4 = (5 × 4m²) / 4 = 5m²

5m²が奇数の2乗になるためには、m²が奇数でなければなりません。つまり、mは奇数です。m = 1, 3, 5, …とすると、nの値は以下のようになります。

m = 1のとき、k = 2、n = 3 × 2² = 12
m = 3のとき、k = 6、n = 3 × 6² = 108
m = 5のとき、k = 10、n = 3 × 10² = 300
m = 7のとき、k = 14、n = 3 × 14² = 588

この中で、√（12分の5n）が奇数になるnの値は、n = 12, 108, 300, 588, …となります。問題文では2番目に小さい数を求めているので、答えは108です。

ステップ4：答えの確認と応用

求めたn = 108が正しいかどうか、実際に√（12分の5n）を計算して確認してみましょう。

√（12分の5 × 108）= √（45）= 3√5

これは奇数ではありません。計算ミスに気づきました。正しくは、n = 3 × k²の形で表し、12分の5n = (5 × k²) / 4　が奇数の2乗になるようにkを調整する必要があります。

k = 2のとき、n = 12、12分の5n = 5。√5は奇数ではない。

k = 4のとき、n = 48、12分の5n = 20。√20は奇数ではない。

k = 6のとき、n = 108、12分の5n = 45。√45 = 3√5は奇数ではない。

k = 12のとき、n = 432、12分の5n = 180。√180は奇数ではない。

k = 18のとき、n = 972、12分の5n = 405。√405 = 9√5は奇数ではない。

再度、問題を見直すと、nが12の倍数である必要はなく、nが3の倍数であれば良いことに気づきます。n = 3 × m²とすると、12分の5n = (5 × m²) / 4。これが奇数の2乗になるには、m²が4の倍数である必要があります。つまり、mは2の倍数です。m = 2, 6, 10, …とすると、nは以下のようになります。

m = 2のとき、n = 3 × 2² = 12、√（12分の5 × 12）= √5
m = 6のとき、n = 3 × 6² = 108、√（12分の5 × 108）= √45 = 3√5
m = 10のとき、n = 3 × 10² = 300、√（12分の5 × 300）= √125 = 5√5
m = 18のとき、n = 3 × 18² = 972、√（12分の5 × 972）= √405 = 9√5

正しくは、n = 3 × (2k)² = 12k²とすると、12分の5n = 5k²。これが奇数の2乗になるには、k²が奇数である必要があります。つまり、kは奇数です。k = 1, 3, 5, …とすると、nの値は以下のようになります。

k = 1のとき、n = 12 × 1² = 12、√（12分の5 × 12）= √5
k = 3のとき、n = 12 × 3² = 108、√（12分の5 × 108）= √45 = 3√5
k = 5のとき、n = 12 × 5² = 300、√（12分の5 × 300）= √125 = 5√5
k = 7のとき、n = 12 × 7² = 588、√（12分の5 × 588）= √245 = 7√5

問題文の「√12分の5nが奇数になる」という条件を見落としていました。正しくは、√（12分の5n）が奇数になるためには、12分の5nが奇数の2乗になる必要があります。したがって、n = 12 × k²の形で表し、kが奇数の場合に条件を満たします。2番目に小さいnの値は、k = 3のときの108ではなく、k = 1のときの12となります。√5は奇数ではないため、問題の解釈が間違っていました。n = 3 × m²で考え直すと、12分の5n = (5m²) / 4。これが奇数の2乗になるには、m²が4の倍数である必要があります。m = 2, 6, 10, …とすると、nの値は以下のようになります。

m = 2のとき、n = 3 × 2² = 12、√（12分の5 × 12）= √5
m = 6のとき、n = 3 × 6² = 108、√（12分の5 × 108）= √45 = 3√5
m = 10のとき、n = 3 × 10² = 300、√（12分の5 × 300）= √125 = 5√5

正しくは、n = 12 × k²とすると、√（12分の5n）= √(5k²)。これが奇数になるには、5k²が奇数の2乗である必要があります。つまり、k²が5の倍数である必要があります。k = √5のとき、n = 60。√（12分の5 × 60）= √25 = 5。k = 1のとき、n = 12、√5。k = 3のとき、n = 108、3√5。k = 5のとき、n = 300、5√5。k = 7のとき、n = 588、7√5。k = 9のとき、n = 972、9√5。正しくは、n = 12 × 5 × (奇数)²。n = 60, 540, …

したがって、2番目に小さいnの値は540です。

ステップ5：応用力を高めるための練習問題

この問題を理解したら、類似の問題にも挑戦してみましょう。例えば、

√（24分の7n）が整数になるようなnの最小値を求めよ。
√（18分の2n）が自然数になるようなnの値をすべて求めよ。

これらの問題を解くことで、平方根の計算に関する理解を深め、応用力を高めることができます。

数学学習のヒント

数学の学習は、問題を解くだけでなく、その背後にある概念を理解することが重要です。以下に、数学学習のヒントをいくつか紹介します。

基本概念の理解: まずは、基本的な公式や定義をしっかりと理解しましょう。
問題演習: 多くの問題を解くことで、理解を深め、応用力を高めることができます。
復習: 間違えた問題は、なぜ間違えたのかを分析し、復習しましょう。
質問: わからないことは、先生や友達に質問しましょう。
継続: 毎日少しずつでも、数学に触れる習慣をつけましょう。

数学は、積み重ねの教科です。諦めずに、コツコツと学習を続けることが大切です。

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まとめ

この記事では、「√12分の5nが奇数になるnの値を求める」問題の解き方を解説しました。平方根の性質と整数の関係を理解し、問題を分解して考えることで、この問題を解くことができます。数学は、諦めずに継続することで必ず理解できるようになります。今回の解説を参考に、ぜひ他の問題にも挑戦してみてください。

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